حل کاردر کلاس صفحه 11 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۱ صفحه ۱۱ ریاضی دهم سلام! این تمرین‌ها در مورد **اصل شمول و عدم شمول** هستند که برای شمارش اعضای اجتماع ($\cup$) و متمم ($\text{A}'$) در مجموعه‌های غیرمجزا استفاده می‌شه. ### اطلاعات مسئله * $\text{U}$: کل فیلم‌ها $\Longrightarrow \mathbf{\text{n}(\text{U}) = ۲۱}$ * $\text{C}$: فیلم‌های پویانمایی $\Longrightarrow \mathbf{\text{n}(\text{C}) = ۷}$ * $\text{T}$: فیلم‌های طنز $\Longrightarrow \mathbf{\text{n}(\text{T}) = ۸}$ * $\text{C} \cap \text{T}$: فیلم‌های پویانمایی و طنز (مشترک) $\Longrightarrow \mathbf{\text{n}(\text{C} \cap \text{T}) = ۳}$ --- ### الف) تعداد فیلم‌های پویانمایی یا طنز ($\text{n}(\text{C} \cup \text{T})$) **فیلم‌های پویانمایی یا طنز** همان **اجتماع** دو مجموعه ($\text{C} \cup \text{T}$) هستند. از فرمول اصل شمول و عدم شمول استفاده می‌کنیم: $$\text{n}(\text{C} \cup \text{T}) = \text{n}(\text{C}) + \text{n}(\text{T}) - \text{n}(\text{C} \cap \text{T})$$ $$\text{n}(\text{C} \cup \text{T}) = ۷ + ۸ - ۳$$ $$\text{n}(\text{C} \cup \text{T}) = ۱۵ - ۳$$ $$\mathbf{\text{n}(\text{C} \cup \text{T}) = ۱۲}$$ **پاسخ:** تعداد کل فیلم‌هایی که پویانمایی یا طنز هستند، **۱۲** فیلم است. --- ### ب) تعداد فیلم‌های غیر پویانمایی و غیر طنز ($\text{n}((\text{C} \cup \text{T})')$) **فیلم‌های غیر پویانمایی و غیر طنز** در واقع **متمم** مجموعه‌ی فیلم‌های پویانمایی یا طنز ($\text{C} \cup \text{T}$) هستند. اگر فیلمی نه پویانمایی باشد و نه طنز، یعنی خارج از مجموعه‌ی $\text{C} \cup \text{T}$ است. از فرمول متمم استفاده می‌کنیم: $$\text{n}((\text{C} \cup \text{T})') = \text{n}(\text{U}) - \text{n}(\text{C} \cup \text{T})$$ $$\text{n}((\text{C} \cup \text{T})') = ۲۱ - ۱۲$$ $$\mathbf{\text{n}((\text{C} \cup \text{T})') = ۹}$$ **پاسخ:** تعداد فیلم‌هایی که نه پویانمایی و نه طنز هستند، **۹** فیلم است.

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۱ (روش دوم) صفحه ۱۱ ریاضی دهم این روش از طریق نمودار ون و تقسیم‌بندی اعضا به نواحی مختلف، محاسبات را انجام می‌دهد. از اطلاعات تمرین قبلی استفاده می‌کنیم: * $\text{n}(\text{C}) = ۷$ * $\text{n}(\text{T}) = ۸$ * $\text{n}(\text{C} \cap \text{T}) = ۳$ * $\text{n}(\text{U}) = ۲۱$ ### ۱. تکمیل نواحی نمودار ون نمودار ون دارای چهار ناحیه است: 1. **اشتراک ($\text{C} \cap \text{T}$):** فیلم‌های پویانمایی و طنز. * $\mathbf{\text{n}(\text{C} \cap \text{T}) = ۳}$ فیلم (در نمودار نوشته شده: **۳ فیلم**) 2. **فقط $\text{C}$ ($\text{C} - \text{T}$):** فیلم‌های پویانمایی که طنز نیستند. * $\text{n}(\text{C} - \text{T}) = \text{n}(\text{C}) - \text{n}(\text{C} \cap \text{T}) = ۷ - ۳ = ۴$ فیلم (در نمودار نوشته شده: **۴ فیلم**) 3. **فقط $\text{T}$ ($\text{T} - \text{C}$):** فیلم‌های طنزی که پویانمایی نیستند. * $\text{n}(\text{T} - \text{C}) = \text{n}(\text{T}) - \text{n}(\text{C} \cap \text{T}) = ۸ - ۳ = ۵$ فیلم 4. **خارج از $\text{C} \cup \text{T}$ (متمم):** فیلم‌هایی که نه پویانمایی و نه طنز هستند. * $\text{n}((\text{C} \cup \text{T})') = \text{n}(\text{U}) - [\text{n}(\text{C} - \text{T}) + \text{n}(\text{T} - \text{C}) + \text{n}(\text{C} \cap \text{T})]$ * $\text{n}((\text{C} \cup \text{T})') = ۲۱ - [۴ + ۵ + ۳] = ۲۱ - ۱۲ = ۹$ فیلم **تکمیل نمودار:** نواحی $\mathbf{۵}$ فیلم (فقط $\text{T}$) و $\mathbf{۹}$ فیلم (خارج از هر دو) را اضافه می‌کنیم. --- ### ۲. پاسخ به سؤالات (الف) و (ب) الف) **تعداد فیلم‌های پویانمایی یا طنز ($athbf{\text{n}(\text{C} \cup \text{T})}$):** * این شامل مجموع سه ناحیه داخلی نمودار ون است (فقط $\text{C}$, فقط $\text{T}$, و اشتراک). $$\text{n}(\text{C} \cup \text{T}) = ۴ + ۳ + ۵ = \mathbf{۱۲}$$ ب) **تعداد فیلم‌های غیر پویانمایی و غیر طنز ($athbf{\text{n}((\text{C} \cup \text{T})')}$):** * این همان ناحیه‌ی خارج از دو مجموعه است. $$\mathbf{\text{n}((\text{C} \cup \text{T})') = ۹}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۲ صفحه ۱۱ ریاضی دهم این تمرین یک مثال کلاسیک برای کاربرد **اصل شمول و عدم شمول** است، اما این بار باید تعداد اعضای **اشتراک** ($\text{x}$) را پیدا کنیم. ### اطلاعات مسئله * $\text{U}$: کل دانش‌آموزان $\Longrightarrow \mathbf{\text{n}(\text{U}) = ۲۵}$ * $\text{F}$: تیم فوتبال $\Longrightarrow \mathbf{\text{n}(\text{F}) = ۱۵}$ * $\text{B}$: تیم بسکتبال $\Longrightarrow \mathbf{\text{n}(\text{B}) = ۱۱}$ * $(\text{F} \cup \text{B})'$: خارج از هر دو تیم $\Longrightarrow \mathbf{\text{n}((\text{F} \cup \text{B})') = ۵}$ * $\text{F} \cap \text{B}$: عضو هر دو تیم $\Longrightarrow \mathbf{\text{n}(\text{F} \cap \text{B}) = x}$ (مجهول) --- ### روش اول حل: استفاده از نمودار ون در نمودار ون، مجموع تمام نواحی داخل $\text{U}$ باید برابر $\text{n}(\text{U})$ باشد. * **فقط $\text{F}$:** $۱۵ - x$ * **اشتراک ($\text{F} \cap \text{B}$):** $x$ * **فقط $\text{B}$:** $\text{n}(\text{B}) - x = ۱۱ - x$ * **خارج از دو مجموعه:** $۵$ **تشکیل معادله:** $$\text{n}(\text{U}) = \text{n}(\text{فقط F}) + \text{n}(\text{اشتراک}) + \text{n}(\text{فقط B}) + \text{n}(\text{خارج از دو مجموعه})$$ $$۲۵ = (۱۵ - x) + x + (۱۱ - x) + ۵$$ **حل معادله:** $$۲۵ = ۱۵ + ۱۱ + ۵ + (-x + x - x)$$ $$۲۵ = ۳۱ - x$$ $$x = ۳۱ - ۲۵$$ $$\mathbf{x = ۶}$$ --- ### روش دوم حل: استفاده از فرمول اجتماع **۱. محاسبه‌ی تعداد اعضای اجتماع ($\mathbf{\text{n}(\text{F} \cup \text{B})}$):** $$\text{n}(\text{F} \cup \text{B}) = \text{n}(\text{U}) - \text{n}((\text{F} \cup \text{B})')$$ $$\text{n}(\text{F} \cup \text{B}) = ۲۵ - ۵ = ۲۰$$ **۲. استفاده از فرمول اصل شمول و عدم شمول:** $$\text{n}(\text{F} \cup \text{B}) = \text{n}(\text{F}) + \text{n}(\text{B}) - \text{n}(\text{F} \cap \text{B})$$ **جایگذاری مقادیر:** $$۲۰ = ۱۵ + ۱۱ - \text{n}(\text{F} \cap \text{B})$$ $$۲۰ = ۲۶ - \text{n}(\text{F} \cap \text{B})$$ **محاسبه‌ی اشتراک:** $$\text{n}(\text{F} \cap \text{B}) = ۲۶ - ۲۰$$ $$\mathbf{\text{n}(\text{F} \cap \text{B}) = ۶}$$ **نتیجه‌ی نهایی:** **۶** نفر از دانش‌آموزان عضو هر دو تیم (فوتبال و بسکتبال) هستند.